Question

y’=(x+2y)/(2x-y) найти общее решение дифференциального уравнения

Answer 1

$y=xz=>y'=z+xz'\ z+xz'=dfrac{1+2z}{2-z}\ xz'=dfrac{1+2z-2z+z^2}{2-z}\ xz'=dfrac{1+z^2}{2-z}\ int dfrac{2-z}{1+z^2}dz=intdfrac{dx}{x}\ (*)int dfrac{2-z}{1+z^2}dz=2int dfrac{1}{1+z^2}dz-dfrac{1}{2}int dfrac{2z}{1+z^2}dz= 2arctgz-dfrac{1}{2}ln(z^2+1)+C\ 2arctgz-dfrac{1}{2}ln(z^2+1)+C=lnx\ 2arctgdfrac{y}{x}-dfrac{1}{2}ln(dfrac{y^2}{x^2}+1)+C=lnx$