Question

Как доказать теорему Пифагора?​

Answer 1

x⊥y ⇒ $\left \| x+y \right \|^2=\left \| x \right \|^2+\left \| y \right \|^2$

$\left \| x+y \right \|^2=(x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)\\\left \| x+y \right \|^2=\left \| x \right \|^2+(x,y)+\overline{(x,y)}+\left \| y \right \|^2\\\left \| x+y \right \|^2=\left \| x \right \|^2+2\Re (x,y)+\left \| y \right \|^2\\(x,y)=0\Rightarrow \Re (x,y)=0\\y\rightarrow iy\Rightarrow \left \| x \right \|^2+2\Re (x,iy)+\left \| y \right \|^2\\(x,iy)=x(1)(iy(1))+x(2)\overline{(iy(2))}=x(1)\overline{y(1)}\cdot (-i)+x(2)\overline{y(2)}\cdot (-i)\\(x,iy)=(x,y)\cdot i\\(x,y)=0\Rightarrow (x,iy)=0$$\Rightarrow \Re (x,iy)=0$

Answer 2

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами а и в и достроим его до квадрата со стороной а + в. Площадь S этого квадрата равна (а + в)^2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2ав  , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 *1/2ав + с^2=2ав + с^2.

Приравняем площади и получим:

(а+в)^2=2ав+с^2

а^2+2ав+в^2=2ав+с^2

После преобразований получим

а^2+в^2=с^2