Question

Помогите пожалуйста! В трапеции проведены диагонали. Площади двух треугольников, прилежащих к основаниям трапеции, равны 4 и 9. Найдите площадь трапеции

Answer 1

 Трапеция АВСД разбивается диагоналями АС и ВД на 4 треугольника.
Точку пересечения диагоналей обозначим через О.
Треугольники АВО и СДО имеют равные площади  $S_{ABO}=S_{CDO}$.
Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам (<AOD=<BOC , <CBO=<ADO)
В подобных треугольниках  линейные отрезки относятся как корни из площадей,
поэтому 
 $frac{BC}{AD}=frac{CO}{AO}=frac{BO}{DO}=sqrt{frac{4}{9}}=frac{2}{3}$
Рассм. треугольники ВОС и ДОС .Проведём в них общую  высоту из вершины С на сторону ВО (ДО).Обозначим её h.Тогда
 $S_{BOC}=frac{1}{2}cdot hcdot BO; ,; S_{COD}=frac{1}{2}cdot hcdot DO\\frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=frac{BO}{DO}\\no; ; frac{BO}{DO}=frac{2}{3}; ; to ; ; frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=frac{2}{3}; ; to ; ; S_{COD}=S_{BOC}:frac{2}{3}=4:frac{2}{3}=frac{4cdot 3}{2}=6\\S_{ABCD}=S_{BOC}+S_{AOD}+S_{AOB}+S_{COD}=\=4+9+2cdot S_{COD}=4+9+12=25$ 
 Замечание. Докажем, что  

 $S_{AOB}=S_{COD}\S_{AOB}=S_{ABD}-S_{AOD}$
 $S_{COD}=S_{ADC}-S_{AOD}$
 Но площади треугольников АВД и АДС равны, так как у нич основание АД одно и то же и высоты их равны высоте трапеции.Отсюда следует равенство площадей треугольниковАОB и СОД:  $S_{AOB}=S_{COD}$