Question

СРОЧНОООООООООО! ПОЖАЛУЙСТА, ПОМОГИТЕ!

Розв'яжіть диференціальні рівняння і знайдіть частинні розв’язки (частинні інтеграли), які задовольняють даним умовам:

$\sqrt{1-x^2} ydy-\sqrt{1-y^2} xdx=0; y=1 , x=1$

Answer 1

$\sqrt{1-x^2}ydy=\sqrt{1-y^2}xdx$

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int\dfrac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \dfrac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}~\Rightarrow~\int\dfrac{d(1-x^2)}{2\sqrt{1-x^2}}=\int\dfrac{d(1-y^2)}{2\sqrt{1-y^2}}\\ \\ \\ \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-y^2}+C$

Получили общий интеграл.

Найдём теперь частный интеграл, подставляя начальные условия.

$\sqrt{1-1^2}=\sqrt{1-1^2}+C~~~\Rightarrow~~ C=0$

$\boxed{\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-y^2}}$ — частный интеграл.