Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения. Решения с сайтов не подойдут. Нужно подробнее.

Answer 1

 $y''+16y=8cos4x$   - ЛНДУ 2 пор.

1)  Лин. однородное дифф.уравнение 2 пор. :   $y''+16y=0$ .

Характеристическое уравнение:   $k^2+16=0\; ,\; \; k^2=-16\; \; ,\; \; k=\pm 4i$  

Общее решение ЛОДУ 2 пор. :   $y_{oo}=C_1\, cos4x+C_2\, sin4x$

2)  Вид частного решения ЛНДУ 2 пор. :

     $\widetilde {y}=(A\, cos4x+B\, sin4x)\cdot x\\\\\widetilde {y}\, '=A\, cos4x+B\, sin4x+x\cdot (-4A\, sin4x+4B\, cos4x)\\\\\widetilde {y}\, ''=-4A\, sin4x+4B\, cos4x+(-4A\, sin4x+4B\, cos4x)+\\\\.\qquad \; +x\cdot (-16A\, cos4x-16B\, sin4x)\\\\\\\widetilde {y}\, ''+16\widetilde {y}=-4A\, sin4x+4Bcos4x-4A\, sin4x+4B\, cos4x+\\\\+x\cdot (-16A\, cos4x-16B\, sin4x)+x\cdot (16A\, cos4x+16B\, sin4x)=\\\\=-8A\, sin4x+8B\, cos4x$

$-8A\, sin4x+8B\, cos4x=8\, cos4x\\\\cos4x\; \Big|\; \; \; 8B=8\; ,\quad B=1\; ,\\sin4x\; \Big|\; -8A=0\; ,\; \; A=0\; .$

Частное решение  ЛНДУ 2 пор. :   $\widetilde {y}=x\cdot sin4x\; .$

Общее решение ЛНДУ 2 порядка имеет вид :   $y=y_{oo}+\widetilde {y}\; .$  

Общее решение ЛНДУ 2 порядка :

  $\boxed {\; y=C_1\, cos4x+C_2\, sin4x+x\cdot sin4x\; }$