Question

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0
Помогите пожалуйста)))

Answer 1

Перепишем наше дифференциальное уравнение в виде

$y^2-2xy+x^2y'=0$

Не трудно заметить, что это линейное однородное дифференциальное уравнение. Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$, получаем :

$u^2x^2-2ux^2+x^2(u'x+u)=0\\ x=0;\\ \\ u^2-2u+u'x+u=0\\ \\ u'x=u-u^2$

Пришли к линейному дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Осталось разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения.

$\displaystyle \int\dfrac{du}{u-u^2}=\int\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \int \dfrac{1-u+u}{u(1-u)}du=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \int \left(\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{1-u}\right)du=\int \dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \ln|u|-\ln|1-u|=\ln |x|+\ln C\\ \\ \\ \dfrac{u}{1-u}=Cx$

Возвращаемся к обратной замене

$\dfrac{y}{x-y}=Cx$ — ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ