Question

Тема: "Модуль"

121.
Определите наклон и направление прямой, если она проходит через следующие точки:
а) происхождение и (2/3; -5/6)
б) (-1/4; 1/9) и (1/3; 1/9)
в) (2a; a) и (8a; 4a), где a ≠ 0.

(1/9, например, - это дробь)​

Answer 1

Прямая, которая задается уравнением $ax + by = c$, можно переписать в виде функции $y = kx + l$, где $k = -\dfrac{a}{b}, \ l = \dfrac{c}{b}$

Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой, равный тангенсу угла $\alpha$, образованного данной прямой и положительным направлением оси $Ox$, то есть $k = \text{tg} \, \alpha$

Если $k > 0$, то график функции возрастает.

Если $k < 0$, то график функции убывает.

Если $k = 0$, то график ни возрастает, ни убывает — имеем прямую $y = l$, параллельную оси абсцисс.

а) Пусть прямая проходит через две точки: $(0; \ 0)$ и $\left(\dfrac{2}{3}; -\dfrac{5}{6} \right)$

Тогда, подставляя соответствующие координаты точек в функцию $y = kx + l$, получим систему двух линейных уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{0 = 0k + l \ \ } \atop {-\dfrac{5}{6} = \dfrac{2}{3}k + l }} \right.$

Тогда $k = -\dfrac{5}{4}$ и $l = 0$

$\text{tg} \, \alpha = -\dfrac{5}{4} \Rightarrow \alpha = -\text{arctg} \, \dfrac{5}{4}$ — тупой угол наклона

Так как $k < 0$, то график функции убывает.

б) Пусть прямая проходит через две точки: $\left(-\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{9} \right)$ и $\left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{9} \right)$. Тогда

$\displaystyle \left \{ {{\dfrac{1}{9} = -\dfrac{1}{4} k + l } \atop {\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3}k + l \ \ }} \right.$

Тогда $k = 0$ и $l = \dfrac{1}{9}$

$\text{tg} \, \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 0^{\circ}$

Так как $k = 0$, то график функции ни возрастает, ни убывает.

в) Пусть прямая проходит через две точки: $\left(2a; \ a \right)$ и $\left(8a; \ 4a \right)$, где $a\neq 0$ — параметр. Тогда

$\displaystyle \left \{ {{a = 2a k + l \ } \atop {4a = 8ak + l }} \right.$

Умножим первое уравнение на 4 и получаем:

$\displaystyle \left \{ {{4a = 8ak + 4l} \atop {4a = 8ak + l \ }} \right.$

Тогда $k = \dfrac{1}{2}$ и $l = 0$

$\text{tg} \, \alpha = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \text{arctg} \ \dfrac{1}{2}$ — острый угол наклона

Так как $k > 0$, то график функции возрастает.