Question

Найти все корни, принадлежащие отрезку [-2П;-П/2]
x=-П/3+2пк, x=4П/3+2пк, x=П/2+пк
Должны получится такие корни: -3п/2, -п/2, -2п/3
Мне нужен сам процесс нахождения этих корней, пожалуйста

Answer 1

1 способ: просто подряд подставлять целые $k$

при $k=-2$ имеем корни

 $x_1=-frac{pi}{3}-4pi=frac{-13pi}{3},\x_2=frac{4pi}{3}-4pi=-frac{8pi}{3},\x_3=frac{pi}{2}-2pi=-frac{3pi}{2}$

Первые два в промежуток не попадают, третий - попадает.

при $k=-1$ имеем корни

$x_1=-frac{pi}{3}-2pi=-frac{7pi}{3},\x_2=frac{4pi}{3}-2pi=-frac{2pi}{3}\x_3=frac{pi}{2}-pi=-frac{pi}{2}$,

первый корень в промежуток не попадает, другие два - попадают.

Если подставлять $kgeq 0$, то увидим, что полученные в итоге корни уже не будут вписываться в границы отрезка.

2 способ (универсальный, но не очень удобный): оценить и проверить, при каких целых $k$ неравенство $-2pileq xleq -frac{pi}{2}$ имеет решение. Для этого все серии корней по отдельности подставляем вместо $x$:

$1) -2pileq -frac{pi}{3}+2pi kleq -frac{pi}{2} |cdotfrac{3}{pi} ,\-6leq -1+6k leq -frac{3}{2}|+1\-5leq 6kleq -frac{1}{2} |:6\-frac{5}{6}leq kleq -frac{1}{12}.$

Очевидно, что целых $k$, удовлетворяющих последнему неравенству, не существует. Т.е. ни один из корней этой серии промежутку не принадлежит.

$2) -2pileq frac{4pi}{3}+2pi k leq -frac{pi}{2}|cdotfrac{3}{4pi}\ -frac{3}{2} leq 1+frac{3}{2}kleq -frac{3}{8}|-1\-frac{5}{2}leq frac{3}{2}kleq -frac{11}{8}|cdotfrac{2}{3}\-frac{5}{3}leq kleq -frac{11}{12}$

Последнему неравенству удовлетворяет только одно целое $k$ - $k=-1$. Корень находим при подстановке значения $k$ в соответствующую серию.

То же можно проделать с третьей серией и убедиться, что неравенство удовлетворяют только 2 значения $k: k=-2$ и $k=-1$. Их также подставляем в соответствующую серию и находим корни.