Question

Решите уравнение 130, пожалуйста. Ответ должен быть ±1;±3

Answer 1

Сделаем замену: $\frac{(x^2-5)^2}{4}=t$. Очевидно, что $t$ принимает только неотрицательные значения.

Уравнение принимает вид

$(t-3)(t+2)-6=0;\\\\t^2+2t-3t-6-6=0\\\\t^2-t-12=0.$

Корни найдем по теореме Виета. Произведение корней = -12, их сумма = 1. Очевидно, корни уравнения - $t=-3,$ $t=4$. Так как $t\geq 0$, к замене возвращаемся только для $t=4$:

$\frac{(x^2-5)^2}{4}=4$

Домножаем обе части на 4 и раскрываем скобки:

$(x^2)^2-2\cdot5x^2+5^2=16;\\\\x^4-10x^2-9=0.$

Делаем еще одну замену: $x^2=u\geq 0$. Имеем очередное квадратное уравнение

$u^2-10u+9=0$,

у которого корня - по все той же теореме Виета - $u_1=1, u_2=9$.

Итого, или $x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$, или $x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$.

ОТВЕТ: ±1; ±3.