Question

Помогите решить логарифмическое уравнение с подробными объяснениями
P.S если понадобится ответ, чтобы свериться, можно написать в коммы, и я отвечу

Answer 1

$\frac{5}{2}log_2(x+3)^2 - 5 = log(3-x)^5 + log_2(x+5)^5\\log_2|x+3| - 1 = log_2(3-x) + log_2(x+5)$

Рассмотрим два случая: x > -3 и x < -3

Сначала первый:

$x> -3 => log_2(x+3)-1 = log_2(3-x)(x+5)\\log_2(x+3) = log_22(3-x)(x+5) => x+3 = 2(x+5)(3-x)\\x+3 = 2(-2x-x^2+15)\\x+3 = -4x - 2x^2 + 30\\2x^2 + 5x - 27 = 0\\D = 25 + 8*27 = 25 + 216 = 241\\x_1_2 = \frac{-5\pm\sqrt{241}}{4}$

Из условия раскрытия модуля если среди этих чисел есть корень, то это только $x = \frac{\sqrt{241}-5}{4}$, но его нужно проверить по ОДЗ.

Теперь рассмотрим уравнение при x < -3

$x < -3 => log_2(-(x+3)) = log_2(-2x^2-4x+30)\\-x-3 = -2x^2 - 4x+30\\2x^2 + 3x - 33 = 0\\D = 9 + 8*33 = 273\\x = \frac{-3\pm\sqrt{273}}{4}$

Учитывая раскрытие модуля, выбираем только один из корней, а именно $x = -\frac{\sqrt{273} + 3}{4}$

Теперь рассмотрим ОДЗ:

$\left \{ {{3-x > 0} \atop {x+5 > 0}} \right. => -5 < x < 3$

Cравним первый корень с 3, а второй с -5

$\frac{\sqrt{241}-5}{4} ? .3\\ \sqrt{241}-5 ?.12\\\sqrt{241} ?. 17\\241 < 289 => \frac{\sqrt{241}-5}{4} < 3$

$-\frac{\sqrt{273}+3}{4} ?. -5\\ \sqrt{273} + 3 ?.20\\\sqrt{273} ?. 17\\273 < 289 => -\frac{\sqrt{273}+3}{4} > -5$

Вроде оба корня подходят.

Ответ:

$x_1 = \frac{\sqrt{241}-5}{4}\\ x_2 = -\frac{\sqrt{273}+3}{4}$