Question

упростите sinх+sin4х+sin5х+sin2х

Answer 1

Пусть V = sin(x) + sin(4x) + sin(5x) + sin(2x),

используем формулу сумма синусов:

sin(a) + sin(b) ≡ 2*sin( (a+b)/2)*cos( (a-b)/2 ).

V = ( sin(5x) + sin(x) ) + ( sin(4x) + sin(2x) ) ≡

≡ 2*sin( (5x+x)/2)*cos( (5x-x)/2 ) + 2*sin( (4x+2x)/2 )*cos( (4x-2x)/2 ) ≡

≡ 2*sin(3x)*cos(2x) + 2*sin(3x)*cos(x) ≡

≡ 2*sin(3x)*( cos(2x) + cos(x) )

теперь используем формулу суммы косинусов:

cos(a) + cos(b) ≡ 2*cos( (a+b)/2 )*cos( (a-b)/2),

имеем

V = 2*sin(3x)*( cos(2x) + cos(x) ) ≡ 2*sin(3x)*2*cos( (2x+x)/2)*cos( (2x-x)/2) ≡

≡ 4*sin(3x)*cos(3x/2)*cos(x/2)