Question

Пожалуйста,помогите!!! Завтра контрольная!!Нужно понять принцип!!!!ПОмогите.
2cos^2 x-5cosx+2=0

Answer 1

Ответ:

Функцию косинуса нужно заменить на буквенное значение (метод подстановки).

Пошаговое объяснение:

Пусть cos x=t, тогда

2*t^2-5*t+2=0

Дальше решаем квадратное уравнение:

d=25-4*2*2=9

t1=(5+3)/4=2

t2=(5-3)/4=0,5

Теперь приравниваем t к cos x и решаем полученные уравнения:

1. cos x=2  и  2. cos x=0,5

В первом нет корней, так как область значений косинуса от -1 до 1 (2 больше 1)

А второе спокойно решаем и получаем, что x=±$\pi /3$+2$\pi$*n, n принадлежит z (целому множеству).

Ответ: x=±$\pi /3$+2$\pi$*n, n принадлежит z

Answer 2

Подобные уравнения решаются с помощью замены переменной.

$2\cos^2x-5\cos x+2=0$

Заменим $\cos x$ на t (буква может быть любая, но эта привычнее).

$\cos x=t$

Тогда $\cos^2x=t^2$

Так как косинус может принимать значения только из отрезка [-1; 1], то и t должно удовлетворять этому требованию:

$t\in[-1;\;1]$

Подставим данные значения в исходное уравнение и решим его как квадратное в отношении t:

$2t^2-5t+2=0\\D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9\\t_{1,2}=\frac{5\pm3}4\\t_1=\frac12\\t_2=2$

Второй корень не подходит, т.к. $t\in[-1;\;1]$

Выполним обратную замену переменной и найдём x:

$t=\cos x=\frac12\\x=\pm\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $x=\pm\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

P.S. Если оба корня квадратного уравнения лежат в отрезке [-1; 1], обратную замену производим для каждого корня. В ответе к задаче также будет два корня.