Question

Из точки А к окружности с центром в точке О проведены две касательной к данной окружности (точки касания обозначим через В и С). Найдите ∠ВОС, если ∠ ВАС=50°. С чертежом!

Answer 1

Если еще не поздно)

Дано: окружность, т.О — центр, т.А ∉ окружности, АВ и АС — касательные, т.В и т.С — точки касания, ∠ВАС= 50°.

Найти: ∠ВОС.

Решение.

1) Проведём радиусы ОВ и ОС и отрезок АО.

2) Вспоминаем свойства касательной:

– касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания;

– отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

3) Исходя из вышеуказанных свойств, мы видим, что ОВ⟂АВ, ОС⟂АС и АВ=АС.

4) Рассмотрим ΔOBA и ΔОСА:

АВ=АС, ОВ=ОС (как радиусы), ОА — общая сторона. Значит, ΔОВА=ΔОСА по трём сторонам.

5) Поскольку ΔОВА=ΔОСА, то их соответственные углы равны.

ОВ⟂АВ, ОС⟂АС => треугольники ОВА и ОСА прямоугольные, ∠ОВА=90°, ∠ОСА=90°.

Кроме того, ∠ОАВ= ∠ОАС= ½∠ВАС= 50°÷2= 25°.

6) ∠АОВ=∠АОС= 90°–25°= 65° (в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°)

7) ∠ВОС= 2∠АОВ= 65°×2= 130°.

Ответ: 130°.