Question

100 БАЛОВ!!

Развить ряд по степеням х

Answer 1

$1); ; f(x)=e^{-x^3}\\e^{t}=1+dfrac{t}{1!}+dfrac{t^2}{2!}+...+dfrac{t^{n}}{n!}+..., =sum limits _{n=0}^{infty }, dfrac{t^{n}}{n!}; ,; ; xin R\\t=-x^3:; ; e^{-x^3}=1+dfrac{-x^3}{1!}+dfrac{(-x^3)^2}{2!}+...+dfrac{(-x^3)^{n}}{n!}+...=\\=1-dfrac{x^3}{1!}+dfrac{x^6}{2!}-dfrac{x^{9}}{3!}+...+(-1)^{n}cdot dfrac{x^{3n}}{n!}+...=sum limits _{n=0}^{infty }, dfrac{(-1)^{n}cdot x^{3n}}{n!}; ,; ; xin R$

$2); ; f(x)=ch, 2x\\cht=1+dfrac{t^2}{2!}+dfrac{t^4}{4!}+...+dfrac{t^{2n}}{(2n)!}+...=sum limits _{n=0}^{infty }dfrac{t^{2n}}{(2n)!}; ,; ; xin R\\t=2x:; ; ch, x=1+dfrac{(2x)^2}{2!}+dfrac{(2x)^4}{4!}+...+dfrac{(2x)^{2n}}{(2n)!}+...=\\=1+dfrac{4x^2}{2!}+dfrac{16x^4}{4!}+...+dfrac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}+...=sum limits _{n=0}^{infty }, dfrac{(2x)^{2n}}{(2n)!}; ,; ; xin R$

$3); ; f(x)=dfrac{2x+1}{x+2}=dfrac{2(x+2)-4+1}{x+2}=2+dfrac{-3}{x+2}=2-3cdot dfrac{1}{2}cdot dfrac{1}{frac{x}{2}+1}\\f(x)=2-dfrac{3}{2}cdot dfrac{1}{1+frac{x}{2}}\\\dfrac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+...+(-1)^{n}, t^{n}+...=sum limits _{n=0}^{infty }(-1)^{n}cdot t^{n}; ,; ; tin (-1;1)\\\dfrac{1}{1+frac{x}{2}}=1-dfrac{x}{2}+Big(dfrac{x}{2}Big)^2-Big(dfrac{x}{2}Big)^3+...+(-1)^{n}cdot Big(dfrac{x}{2} Big)^{n}+...=$

$=1-dfrac{x}{2}+dfrac{x^4}{4!}-dfrac{x^3}{8}+...+(-1)^{n}cdot x^{n}+...=sum limits _{n=0}^{infty }, (-1)^{n}cdot dfrac{x^{n}}{2^{n}}; ,\\\-1<dfrac{x}{2}<1; ; ; Rightarrow quad -2<x<2; ,; ; xin (-2;2, )\\\dfrac{2x+1}{x+2}=1-dfrac{3}{2}cdot sum limits _{n=0}^{infty }, (-1)^{n}cdot dfrac{x^{n}}{2^{n}}=1+sum limits _{n=0}^{infty }, (-1)^{n+1}cdot dfrac{3cdot x^{n}}{2^{n+1}}; ,; ; xin (-2;2, )$

Answer 2

спасибо Вам большое