Question

Напишите все уравнения касательных,выходящих из точки (4,0) к окружности $(x-1)^2+y^{2} =4$

Answer 1

$(x-1)^2+y^2=4$

Рассмотрим полуокружность, расположенную в верхней полуплоскости. Для нее выразим у:

$y^2=4-(x-1)^2$

$y=sqrt{4-(x-1)^2}$

Необходимо найти касательную к графику функции $f(x)=sqrt{4-(x-1)^2}$, проходящую через точку $(4; 0)$.

Пусть $x_0$ - точка касания. Уравнение касательной:

$y_k=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

$f(x_0)=sqrt{4-(x_0-1)^2}$

Найдем производную:

$f'(x)=dfrac{1}{2sqrt{4-(x-1)^2}} cdot(4-(x-1)^2)'=$

$=dfrac{1}{2sqrt{4-(x-1)^2}} cdot(-2(x-1))=-dfrac{x-1}{sqrt{4-(x-1)^2}}$

$f'(x_0)=-dfrac{x_0-1}{sqrt{4-(x_0-1)^2}}$

Подставим все величины в уравнение касательной:

$y_k=sqrt{4-(x_0-1)^2}-dfrac{x_0-1}{sqrt{4-(x_0-1)^2}}cdot(x-x_0)$

Поскольку касательная проходит через точку $(4; 0)$, то подставим координаты этой точки в уравнение:

$0=sqrt{4-(x_0-1)^2}-dfrac{x_0-1}{sqrt{4-(x_0-1)^2}}cdot(4-x_0)$

$dfrac{(x_0-1)(4-x_0)}{sqrt{4-(x_0-1)^2}}=sqrt{4-(x_0-1)^2}$

$(x_0-1)(4-x_0)=4-(x_0-1)^2$

$4x_0-x_0^2-4+x_0=4-x_0^2+2x_0-1$

$4x_0-4+x_0=4+2x_0-1$

$3x_0=7$

$x_0=dfrac{7}{3}$

Значит, уравнение касательной имеет вид:

$y_k=sqrt{4-left(dfrac{7}{3} -1right)^2}-dfrac{dfrac{7}{3}-1}{sqrt{4-left(dfrac{7}{3}-1right)^2}}left(x-dfrac{7}{3}right)$

$y_k=sqrt{4-left(dfrac{4}{3}right)^2}-dfrac{dfrac{4}{3}}{sqrt{4-left(dfrac{4}{3}right)^2}}left(x-dfrac{7}{3}right)$

$y_k=sqrt{4-dfrac{16}{9}}-dfrac{dfrac{4}{3}}{sqrt{4-dfrac{16}{9}}}left(x-dfrac{7}{3}right)$

$y_k=sqrt{dfrac{20}{9}}-dfrac{dfrac{4}{3}}{sqrt{dfrac{20}{9}}}left(x-dfrac{7}{3}right)$

$y_k=dfrac{sqrt{20} }{3}-dfrac{4cdot3}{3sqrt{20} }left(x-dfrac{7}{3}right)$

$y_k=dfrac{sqrt{20} }{3}-dfrac{4}{sqrt{20} }left(x-dfrac{7}{3}right)$

$y_k=dfrac{2sqrt{5} }{3}-dfrac{4}{2sqrt{5} }left(x-dfrac{7}{3}right)$

$y_k=dfrac{2sqrt{5} }{3}-dfrac{2}{sqrt{5} }left(x-dfrac{7}{3}right)$

$y_k=dfrac{2sqrt{5} }{3}-dfrac{2}{sqrt{5} }x+dfrac{2}{sqrt{5} }cdotdfrac{7}{ 3}right)$

$y_k=-dfrac{2}{sqrt{5} }x+dfrac{14}{3sqrt{5} }+dfrac{2sqrt{5} }{3}$

$y_k=-dfrac{2sqrt{5} }{5 }x+dfrac{14sqrt{5}+2sqrt{5}cdot5 }{3cdot5 }$

$y_k=-dfrac{2sqrt{5} }{5 }x+dfrac{14sqrt{5}+10sqrt{5}}{3cdot5 }$

$y_k=-dfrac{2sqrt{5} }{5 }x+dfrac{24sqrt{5}}{3cdot5 }$

$y_k=-dfrac{2sqrt{5} }{5 }x+dfrac{8sqrt{5}}{5 }$

$y_k=-dfrac{2sqrt{5} }{5 }Big(x-4Big)$

Полуокружность $y=-sqrt{4-(x-1)^2}$, расположенная в нижней полуплоскости, симметрична относительно рассмотренной относительно оси абсцисс. Значит и касательная к ней будет симметрична:

$y_k=dfrac{2sqrt{5} }{5 }Big(x-4Big)$

Таким образом, две касательные задаются уравнением:

$y_k=pmdfrac{2sqrt{5} }{5 }Big(x-4Big)$