Question

Найти производные функций

Answer 1

$1); ; y=arccosdfrac{cosx}{sqrt{1+cos^2x}}\\\y'=-dfrac{1}{sqrt{1-frac{cos^2x}{1+cos^2x}}}cdot dfrac{-sinxcdot sqrt{1+cos^2x}-cosxcdot frac{1}{2sqrt{1+cos^2x}}cdot (-2cosxcdot sinx)}{1+cos^2x}=\\\=sqrt{1+cos^2x}cdot dfrac{sinxcdot (1+cos^2x)-cos^2xcdot sinx}{sqrt{1+cos^2x}cdot (1+cos^2x)}=dfrac{sinx}{1+cos^2x}$

$2); ; y=(arcctgx)^{x}; ; ; Rightarrow quad lny=xcdot ln(arcctgx)\\\dfrac{y'}{y}=ln(atcctgx)+xcdot dfrac{1}{arcctgx}cdot dfrac{-1}{1+x^2}=ln(arcctgx)-dfrac{x}{(1+x^2), arcctgx}\\\y'=(arcctgx)^{x}cdot left (ln(arcctgx)-dfrac{x}{(1+x^2), arcctgx}right)$

$3); ; x^2+y^3-3xy=0; ; ,; ; y=y(x)\\2x+3y^2cdot y'-(3y+3x, y')=0\\2x+3y^2cdot y'-3y-3x, y'=0\\y'(3y^2-3x)=3y-2x\\y'=dfrac{3y-2x}{3(y^2-x)}$