Question

Помогите с заданиями пожалуйста)))

Answer 1

$6. f(x) = dfrac{x^{3}}{3} - dfrac{3a - 1}{2}x^{2} + (2a^{2} - a)x + 19$

$D(f): x in mathbb{R}$

Знайдемо похідну від функції $f(x):$

$f'(x) = x^{2} - (3a - 1)x + 2a^{2} - a$

а) Критичною точкою функції $f(x)$ називається точка, у якій похідна $f'(x)$ цієї функції дорівнює нулю.

Отже, розв'яжемо квадратне рівняння $x^{2} - (3a - 1)x + 2a^{2} - a = 0$ залежно від значень параметра $a$

Знайдемо дискримінант цього рівняння:

$D = (-(3a - 1))^{2} - 4 cdot 1 cdot (2a^{2} - a) = a^{2} - 2a +1 = (a - 1)^{2} geq 0$

Розглянемо два випадки.

1) Якщо $D > 0$, тобто $(a - 1)^{2} > 0$, то маємо дві критичні точки.

$(a - 1)^{2} > 0$

$a neq 1$, тобто $a in (-infty; 1) cup (1; +infty)$

Отже, при $a in (-infty; 1) cup (1; +infty)$ маємо дві критичні точки:

$x_{1,2} = dfrac{3a - 1 pm sqrt{(a - 1)^{2}}}{2 cdot 1} = dfrac{3a - 1pm (a - 1)}{2} = left[begin{array}{ccc}x_{1} = 2a - 1\x_{2} = a \end{array}right$

2) Якщо $D = 0$, тобто $(a - 1)^{2} = 0; a = 1,$ то маємо одну критичну точку:

$x = dfrac{3a - 1}{2} = dfrac{3 cdot 1 - 1}{2} = 1$

б) Точками екстремуму функції $f(x)$ називаються критичні точки, при переході через яких похідна $f'(x)$ змінює свій знак на протилежний.

Теорема Ферма (необхідна умова екстремуму): якщо точка $x_{0}$  є точкою екстремуму функції $f(x)$ і в цій точці існує похідна, то вона дорівнює нулю: $f'(x) = 0$ (див. пункт а).

Теорема (достатня умова екстремуму): якщо функція $f(x)$ неперервна в точці $x_{0}$ та:

1) $f'(x) > 0$ на проміжку $(a; x_{0})$ і $f'(x) < 0$ на проміжку $(x_{0}; b)$, то $x_{0}$ є точкою максимуму функції $f(x)$;

2) $f'(x) < 0$ на проміжку $(a; x_{0})$ і $f'(x) > 0$ на проміжку $(x_{0}; b)$, то $x_{0}$ є точкою мінімуму функції $f(x)$.

Якщо $a in (-infty; 1) cup (1; +infty)$, то:

1) $x_{1} > x_{2}$ при $a in (1; +infty)$ маємо: $x_{max} = a; x_{min} = 2a - 1$ (див. рисунок).

2) $x_{1} < x_{2}$ при $a in (-infty; 1)$ маємо: $x_{max} = 2a - 1; x_{min} = a$ (див. рисунок).

Якщо $a = 1$, то немає точок екстремуму (див рисунок).

в) Ознака зростання та спадання функції: якщо $f'(x) > 0$ у кожній точці проміжку $(a; b)$, то функція $y = f(x)$ зростає на

З рисунків можна дійти висновку:

1) Якщо $a in (1; +infty)$, то функція $f(x)$ зростає на $x in (-infty; a) cup (2a - 1; +infty)$ та спадає на $x in (a; 2a - 1)$.

2) Якщо $a in (-infty; 1)$, то функція $f(x)$ спадає на $x in (-infty; 2a - 1) cup (a; +infty)$ та спадає на $x in (2a - 1; a)$.

3) Якщо $a = 1$, то функція зростає на всій області $D$ визначення.

Відповідь:

а) Якщо $a in (-infty; 1) cup (1; +infty)$, то маємо дві критичні точки: $x_{1} = 2a - 1, x_{2} = a$

Якщо $a = 1$, то маємо одну критичну точку: $x = 1$

б) Якщо $a in (1; +infty)$, то $x_{max} = a; x_{min} = 2a - 1$

Якщо $a in (-infty; 1)$, то $x_{max} = 2a - 1; x_{min} = a$

Якщо $a = 1$, то немає точок екстремуму.

в) Якщо $a in (1; +infty)$, то функція $f(x)$ зростає на $x in (-infty; a) cup (2a - 1; +infty)$ та спадає на $x in (a; 2a - 1)$.

Якщо $a in (-infty; 1)$, то функція $f(x)$ спадає на $x in (-infty; 2a - 1) cup (a; +infty)$ та спадає на $x in (2a - 1; a)$.

Якщо $a = 1$, то функція зростає на всій області $D$ визначення.

$7. f(x) = x^{3} - ax^{2} + (a^{2} - 2a)x - 7, x_{0} = 1$

Знайдемо похідну від функції $f(x):$

$f'(x) = 3x^{2} - 2ax + a^{2} - 2a$

Прирівняємо похідну до нулю:

$3x^{2} - 2ax + a^{2} - 2a = 0$

Оскільки $x_{0} = 1$ — можливо одна з точок екстремуму функції $f(x)$, то підставимо її в рівняння і розв'яжемо його відносно $a$:

$3 - 2a + a^{2} - 2a = 0$

$a^{2} - 4a + 3 = 0$

$a_{1} = 1; a_{2} = 3$

Отже, при $a_{1} = 1$ та $a_{2} = 3$ точка $x_{0} = 1$ є точкою екстремуму функції $f(x)$

Відповідь: $a_{1} = 1; a_{2} = 3$