Question

Помогите вычислить сумму членов ряда.

Answer 1

$displaystyle sum_{n=1}^{infty} dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$

Здесь $n$-й член ряда $u_{n} = dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$ является правильной рациональной дробью относительно $n$. Разложим $u_{n}$ на сумму простейших дробей:

$dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = dfrac{A}{n^{2}} + dfrac{B}{n}+ dfrac{C}{(n + 1)^{2}} + dfrac{D}{n + 1}$

$2n + 1 = A(n + 1)^{2} + Bn(n + 1)^{2} + Cn^{2} + Dn^{2}(n + 1)$

Если $n = 0$, то $A = 1$

Если $n = -1$, то $2 cdot (-1) + 1 = C Rightarrow C = -1$

Коэффициенты около $n^{1}: 2 = 2A + B; B = 2 - 2A = 2 - 2 = 0$

Коэффициенты около $n^{3}: 0 = B + D; D = -B = 0$

Итог: $dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = dfrac{1}{n^{2}} - dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

Поэтому $S_{n} = dfrac{3}{1 cdot 4} + dfrac{5}{4 cdot 9} + ... + dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} =$

$= left(1 - dfrac{1}{4} right) + left(dfrac{1}{2} - dfrac{1}{9} right) + ... + left(dfrac{1}{n^{2}} - dfrac{1}{(n + 1)^{2}} right) = 1 - dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

$displaystyle lim_{n to infty} S_{n} = lim_{n to infty} left(1 - dfrac{1}{(n + 1)^{2}}right) = 1$

Следовательно, $displaystyle exists lim_{n to infty} S_{n}$, ряд сходится, а сумма ряда $S = displaystyle lim_{n to infty} S_{n} = 1$

Ответ: 1.