Question

2*х^3*у'=у*(2*x^2-у^2) решить дифференциальное уравнение

Answer 1

$2x^{3}y' = y(2x^{2} - y^{2})$

$y' = dfrac{y(2x^{2} - y^{2})}{2x^{3}}$

$y' = dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}$

Пусть $f(x,y) = dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}$

Сделаем проверку:

$f(lambda x,lambda y) = dfrac{2(lambda x)^{2}lambda y - (lambda y)^{3}}{2(lambda x)^{3}} = dfrac{lambda ^{3} (2x^{2}y - y^{3})}{2lambda ^{3}x^{3}} =dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}} = f(x,y)$

Таким образом, $f(lambda x,lambda y) = lambda ^{0}f(x,y)$ — имеем однородную функцию нулевого измерения.

Сделаем замену: $y = u cdot x,$ где $u = u(x)$. Тогда $y' = u'x + u$

Имеем:

$u'x + u = dfrac{2x^{2}ux - (ux)^{3}}{2x^{3}}$

$u'x + u = dfrac{2x^{3}u - u^{3}x^{3}}{2x^{3}}$

$u'x + u = dfrac{x^{3}(2u - u^{3})}{2x^{3}}$

$u'x = dfrac{2u - u^{3}}{2} - u$

$x cdot dfrac{du}{dx} = -dfrac{u^{3}}{2}$

$dfrac{du}{u^{3}} = - dfrac{dx}{2x}$

$displaystyle int dfrac{du}{u^{3}} = - int dfrac{dx}{2x}$

$-dfrac{1}{2u^{2}} = -dfrac{1}{2}ln |x| + C | cdot (-2)$

$dfrac{1}{u^{2}} = ln |x| + ln|C_{1}|$

$dfrac{1}{u^{2}} = ln |C_{1}x|$

$u^{2} = dfrac{1}{ln|C_{1}x|}$

$u = pmdfrac{1}{sqrt{ln |C_{1}x|} }$

Обратная замена:

$dfrac{y}{x} =pmdfrac{1}{sqrt{ln |C_{1}x|} }$

$y =pmdfrac{x}{sqrt{ln |C_{1}x|} }$

Ответ: $y =pmdfrac{x}{sqrt{ln |C_{1}x|} }$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение: решение в файле