Question

Помогите решить пожалуйста очень нужно Вычислить длину дуги цепной линии y^2=x^3 от точки x1=0 до точки x2=4

Answer 1

$y^2=x^3iff (y=x^{tfrac{3}{2}})vee (y=-x^{tfrac{3}{2}})$

Соответственно, достаточно вычислить длину дуги для одной из частей кривой и удвоить результат

$displaystyle\L = 2cdotint_{0}^{4}sqrt{1+y_{x}^{2}},dxmedskip\y_{x} = dfrac{3}{2}sqrt{x}implies L = 2cdotint_{0}^{4}sqrt{1+dfrac{9}{4}x},dx=2cdotdfrac{4}{9}int_{0}^{4}left(1+dfrac{9}{4}xright)^{tfrac{1}{2}},dleft(1+dfrac{9}{4}xright)=medskip\=dfrac{8}{9}cdotdfrac{2}{3}left(1+dfrac{9}{4}xright)^{tfrac{3}{2}}bigg|_{0}^{4}=dfrac{16}{27}left(10^{tfrac{3}{2}}-1right)$