Question

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения. Решить задачу Коши.

если не составит труда, то можно с пояснением, большое спасибо

Answer 1

$xy' - y(ln y - ln x) = 0, y(1) = e^{2}$

$xy' = yln dfrac{y}{x}$

$y' = dfrac{y}{x} ln dfrac{y}{x}$

Пусть $f(x,y) = dfrac{y}{x} ln dfrac{y}{x}$

Сделаем проверку: $f(lambda x, lambda y) = dfrac{lambda y}{lambda x} ln dfrac{lambda y}{lambda x} = dfrac{y}{x} ln dfrac{y}{x} = f(x, y)$

Таким образом, $f(lambda x,lambda y) = lambda ^{0}f(x,y)$ — имеем однородную функцию нулевого измерения.

Сделаем замену: $y = u cdot x$, где $u = u(x)$. Тогда $y' = u'x + u$

Имеем:

$u'x + u = dfrac{ux}{x} ln dfrac{ux}{x}$

$u'x + u = u ln u$

$dfrac{du}{dx} cdot x = u ln u - u | cdot dx$

$du cdot x = left(u ln u - uright) dx | : x neq 0$

$dfrac{du}{u ln u - u} = dfrac{dx}{x}$

$displaystyle int dfrac{du}{u ln u - u} = int dfrac{dx}{x}$

Рассчитаем интегралы:

$displaystyle int dfrac{du}{u ln u - u} = left|begin{array}{ccc}t = ln u \u = e^t \du = e^t dtend{array}right| = int dfrac{e^t}{e^t t - e^t} , dt = intlimits {frac{e^t}{e^t(t - 1)} } , dt =$

$displaystyle = intlimits {dfrac{1}{t - 1} } , d(t - 1) = ln |t - 1| + C = ln |ln u- 1| + C$

$displaystyle intlimits {dfrac{dx}{x} } = ln |x| + C$

$ln |ln u - 1| + C_{1} = ln |x| + C_{2}$

$ln |ln u - 1| = ln|x| + ln |C|$

$ln |ln u - 1| = ln |Cx|$

$ln u - 1 = Cx$

$ln u = Cx + 1$

$u = e^{Cx+1}$

Обратная замена:

$dfrac{y}{x} = e^{Cx+1}$

$y = x e^{Cx+1}$ — общее решение

Из начальных условий $y(1) = e^{2}$ имеем:

$e^{2} = e^{C+1}$

$2 = C + 1$

$C = 1$

Частное решение:

$y_{0} = x e^{x+1}$

Ответ: $y_{0} = x e^{x+1}$