Question

xy'-2y=2x^4 общее и частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

$xy'-2y=2x^4$

$y'-dfrac{2}{x}cdot y=2x^3$

Решение ищем в виде произведения ненулевых функций:

$y=uv$

$y'=u'v+v'u$

Подставляем:

$u'v+v'u-dfrac{2}{x}cdot uv=2x^3$

Пусть сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

$u'v-dfrac{2}{x}cdot uv=0$

$u'-dfrac{2}{x}cdot u=0$

$u'=dfrac{2}{x}cdot u$

$dfrac{du}{dx} =dfrac{2}{x}cdot u$

$dfrac{du}{u} =dfrac{2dx}{x}$

$intdfrac{du}{u} =intdfrac{2dx}{x}$

$ln|u| =2ln|x|$

$ln|u| =ln x^2$

$u =x^2$

Тогда второе слагаемое в левой части равно правой части:

$v'u=2x^3$

$v'cdot x^2=2x^3$

$v'=2x$

$dfrac{dv}{dx} =2x$

$dv=2xdx$

$int dv=int2xdx$

$v=x^2+C$

Общее решение:

$y=uv=x^2(x^2+C)=x^4+Cx^2$

Частное решение. Пусть $C=1$:

$y_c=x^4+x^2$