Question

2. Найти интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума и схематично построить ее график: y=x^3/3-4x

4. Равнобедренный треугольник описан около прямоугольника с основанием a и высотой h. Основание треугольника совпадает с основанием прямоугольника. При каких размерах треугольника его площадь будет наименьшей.


6. С помощью асимптот построить график функции:

Y=x^2+6x+8/x+5

Answer 1

$y= frac{x^3}{3-4x};$ ОДЗ: $x neq frac{3}{4}$
 $y'= (frac{x^3}{3-4x})'=frac{(x^3)'(3-4x)-x^3(3-4x)'}{(3-4x)^2}=frac{3x^2(3-4x)-x^3(-4)}{(3-4x)^2}=$
$=frac{9x^2-12x^3+4x^3}{(3-4x)^2}=frac{9x^2-8x^3}{(3-4x)^2}=frac{x^2(9-8x)}{(3-4x)^2};$
 $y'=0;frac{x^2(9-8x)}{(3-4x)^2}=0;x=0;9-8x=0;x= frac{9}{8};$
$(-infty;0);y'>0;$
$(0; frac{3}{4});y'>0;$
$(frac{3}{4};frac{9}{8});y'>0;$
$(frac{9}{8};infty);<0$
 При $(-infty; frac{3}{4})$ и $(frac{3}{4};frac{9}{8}]$  функция возрастает
При  $[frac{9}{8};infty)$  функция убывает
$x= frac{9}{8}$  - точка максимума,  $y(frac{9}{8})= frac{(frac{9}{8})^3}{3-4*frac{9}{8}}= frac{frac{729}{512}}{-1,5}=-frac{243}{256}$
$x to frac{3}{4}-0;y to +infty;x to frac{3}{4}+0;y to -infty;$
$x to - infty;y to -infty; x to + infty;y to -infty;$
4 Треугольники МСР и РСВ подобны, $CH=x;MC=x-frac{a}{2};PM=h;$
$frac{MC}{CH} = frac{PM}{BH}; frac{x-frac{a}{2}}{x} = frac{h}{BH}; BH= frac{2hx}{x-a};$
 $S_{ABC}= frac{1}{2}AC*BH=frac{1}{2}*2x*frac{2hx}{x-a}= frac{2hx^2}{x-a}$
Рассмотрим функцию $y=frac{2hx^2}{x-a};$
$y'=(frac{2hx^2}{x-a})'=frac{(2hx^2)'(x-a)-2hx^2(x-a)'}{(x-a)^2}=frac{4hx(x-a)-2hx^2}{(x-a)^2}=$
$=frac{4hx^2-4ahx-2hx^2}{(x-a)^2}=frac{2hx^2-4ahx}{(x-a)^2}=frac{2hx(x-2a)}{(x-a)^2};$
$2hx(x-2a)=0;x=0$  посторонний корень $x=2a$ единств критическая точка
$(frac{a}{2};2a);y'=<0;(2a;4a);y'=>0;$
$x=2a$ - точка минимума
$AC=4a;BH= frac{2h*2a}{2a-a}=4h$ при этих размерах треугольника его площадь будет наименьшей.

7d4f032df26c4f3c7c88f78a96160661.docx

Answer 2

Рисунок к 4-му заданию забыла сразу скинуть а теперь он не принимается Извини