Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями:
$y=2cosx$ $y=0,$ $0\ \textless \ x\ \textless \ \pi$

Answer 1

Решение:

Итак, мы ищем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2 \, \cos \, x$, $y=0$, $x=0$ и $x=\pi$. Чертеж представлен ниже.

На чертеже видно, что на отрезке $[0; \pi ]$ сверху может быть как и кривая $y = 2 \, \cos \, x$, так и прямая $y=0$. Поэтому можно посчитать интеграл на двух промежутках, а полученные значения сложить (таков один из возможных способов).

Напоминаю также формулу Ньютона-Лейбница (и то, что "первообразная от косинуса равна синусу"):

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

Первый промежуток: $(0; \pi/2 )$. Кривая выше прямой, поэтому $f(x) = 2 \, \cos \, x$. Нижний и верхний пределы - $0$ и $\pi / 2$ соответственно.

$\displaystyle \int\limits^{\pi/2}_0 {2 \, \cos \, x} \, dx = 2 \, \sin \, x \Big | ^{\pi/2}_0 = 2 \, \sin \, \frac{ \pi}{2} - 2 \, \sin 0 = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 2$

Второй промежуток: $( \pi /2 ; \pi )$. Так как $\pi / 2$ такая точка, в которой косинус меняет свой знак, то и $f(x) = -2 \, \cos \, x$. Имеем следующее (по идее, вторая площадь равна первой из-за периодичности косинуса, но проверить это тоже невредно):

$\displaystyle \int\limits^{\pi}_{\pi/2} { \Big ( - 2 \, \cos \, x \Big ) } \, dx = \Big ( - 2 \, \sin \, x \Big ) \;\; \Big | ^{\pi} _{\pi/2} = - 2 \, \sin \, {\pi} + 2 \, \sin \frac{\pi}{2} = 2$

Значит, и вся площадь равна:

$\displaystyle \int\limits^{\pi}_{0} { \Big ( 2 \, \cos \, x \Big ) } \, dx = \displaystyle \int\limits^{\pi/2}_{0} { \Big (2 \, \cos \, x \Big ) } \, dx + \displaystyle \int\limits^{\pi}_{\pi/2} { \Big ( - 2 \, \cos \, x \Big ) } \, dx = 2 + 2 = 4$

Задача решена!

Ответ: 4.