Question

При каком значении а система уравнений
7х+ау=4
14х-8у=8 имеет бесконечно много решений?

Answer 1

Решение:

$\displaystyle \left \{ {{7x + ay = 4} \atop 14x - 8y = 8}} \right. ; \;\;\; \displaystyle \left \{ {{7x + ay = 4} \atop 7x - 4y = 4}} \right.$

Вычтем из первого уравнения системы второе:

$(7x + ay) - (7x - 4y) = 4 - 4 \\\\ay + 4y = 0 \\\\(a+4)y = 0$

Если $a+4 \ne 0$, то в силу того, что произведение равно нолю,  $y=0$. И, подставляя это, например, во второе уравнение, имеем:

$7x - 4 \cdot 0 = 4 \\\\7x = 4 \\\\x = \dfrac{4}{7}$

Значит, чтобы решений было бесконечно много, нужно чтобы $a+4=0$ или же $a=-4$. При этом значении $a$ переменная $y$ может быть любым числом. И каждому значению переменной соответствует свое значение переменной $x$.

Действительно, в этом случае первое и второе уравнение системы будут совпадать с точностью до умножения на два:

$\displaystyle \left \{ {{7x -4y = 4} \atop 14x - 8y = 8}} \right.$

Задача решена!

Ответ: при a = - 4 .