Ответы
Ответ:
«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:
Вписанный треугольник
Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?
Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:
Вписанный четырехугольник Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 180∘
180∘.
На нашем рисунке:
α+β=180∘
α+β=180∘.
Посмотри, углы α
α и ββ лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами φφ и ψψ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов αα и ββ взять углы φφ и ψ
ψ?
Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет 180∘
180∘. Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме 180∘
180∘. Не веришь? Давай убедимся. Смотри:
Вписанный четырехугольник 2
Пусть α+β=180∘
α+β=180∘. Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, 360∘360∘. То есть α+β+φ+ψ=360∘α+β+φ+ψ=360∘ - всегда! 180∘180∘. Но α+β=180∘α+β=180∘, →φ+ψ=360∘−180∘=180∘
φ+ψ=360∘−180∘=180∘.
Волшебство прямо!
Так что запомни крепко-накрепко:
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна 180∘
180∘
и наоборот:
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна 180∘
180∘, то такой четырехугольник вписанный.
Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180∘
180∘.
Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».
Параллелограмм. Можно ли описать окружность.
Вот как-то не получается.
Теперь применим знание:
Параллелограмм
предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм ABCD
ABCD окружность. Тогда непременно должно быть: α+β=180∘α+β=180∘, то есть ∠B+∠D=180∘
∠B+∠D=180∘.
А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:
у всякого параллелограмма противоположные углы равны.
То есть ∠B=∠D
∠B=∠D.
У нас получилось, что
{∠B=∠D∠B+∠D=180∘
{∠B=∠D∠B+∠D=180∘ → {∠B=90∘∠D=90∘
{∠B=90∘∠D=90∘
А что же углы A
A и C
C? Ну, то же самое конечно.
ABCD
ABCD – вписанный → ∠A+∠C=180∘∠A+∠C=180∘ → ∠A=90∘
∠A=90∘
ABCD
ABCD - параллелограмм→ ∠A=∠C∠A=∠C → ∠C=90∘
∠C=90∘
Потрясающе, правда?
Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны 90∘
90∘, то есть это прямоугольник!
Прямоугольник
И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.
Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.
А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?
Вписанная трапеция
Вот пусть трапеция ABCD
ABCD вписана в окружность. Тогда опять ∠B+∠D=180∘∠B+∠D=180∘, но из-за параллельности прямых ADAD и BCBC ∠B+∠A=180∘
∠B+∠A=180∘.
Значит, имеем: {∠B+∠D=180∘∠B+∠A=180∘
{∠B+∠D=180∘∠B+∠A=180∘ → ∠D=∠A
∠D=∠A → трапеция равнобокая.
Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.
Вписанная трапеция - равнобедренная
Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:
Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 180∘
180∘
Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.
Объяснение: