Question

Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання на 8 год швидше, ніж один перший робітник і на 18 год швидше, ніж один другий. За скільки годин перший робітник може виконати завдання і за скільки - другий?

Answer 1

Нехай за $x$ год перший робітник виконає завдання, а за $y$ год — другий. Тоді за одну годину перший робітник виконає $\dfrac{1}{x}$ усього завдання, а другий робітник — $\dfrac{1}{y}$.

Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання на 8 год швидше, ніж один перший робітник, тобто $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x-8}$

Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання на 18 год швидше, ніж один другий робітник, тобто $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{y-18}$

Складаємо систему з двох рівнянь:

$\displaystyle \left \{ {{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x-8} \ } \atop {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{y-18}}} \right.$

Тут $\dfrac{1}{x - 8} = \dfrac{1}{y - 18} \Rightarrow x - 8 = y - 18 \Rightarrow x = y - 10,$ оскільки ліві частини рівнянь рівні.

Підставимо $x = y - 10$ в перше рівняння:

$\dfrac{1}{y - 10} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{y - 18}$

$\dfrac{2y - 10}{y(y-10)} = \dfrac{1}{y - 18}$

$(2y - 10)(y - 18) = y(y - 10)$

$2y^{2} - 46y + 180 = y^{2} - 10y$

$y^{2} - 36y + 180 = 0$

$y_{1} = 6; \ y_{2} = 30$

Якщо $y_{1} = 6$, то $x_{1} = 6 - 10 = -4$ — не відповідає сенсу задачі.

Якщо $y_{2} = 30$, то $x_{2} = 30 - 10 = 20$

Отже, за 20 год перший робітник виконає завдання, а за 30 год — другий.

Відповідь: 20 год і 30 год.