Question

269.
Какая из точек A (12; 13) или
B (16; 14) ближе к окружности
x² + y² - 8x - 46y + 343 = 0?​

Answer 1

$x^{2} + y^{2} - 8x - 46y + 343 = 0$

Составим из этого уравнения стандартное уравнение окружности:

$(x^{2} - 8x + 16)- 16 + (y^{2} - 46y + 529) - 529 + 343 = 0$

$(x - 4)^{2} + (y - 23)^{2} = 202$

Имеем уравнение окружности с центром в точке $(4; \ 23)$ и радиусом $\sqrt{202}$

Точка будет ближе к окружности та, которая при подстановке ее координат в уравнение окружности, будет ближе к значению ее радиуса в квадрате.

Точка $A(12; \ 13):$

$(12 - 4)^{2} + (13 - 23)^{2} = 8^{2} + (-10)^{2} = 64 + 100 = 164$

Точка $B(16; \ 14):$

$(16 - 4)^{2} + (14 - 23)^{2} = 12^{2} + (-9)^{2} = 144 + 81 = 225$

Таким образом, $|202 - 164| = |38| = 38$ и $|202 - 225| = |-23| = 23$

Точка $B(16; \ 14)$ находится ближе к окружности.

Ответ: $B(16; \ 14)$