Question

Наименьший делитель числа, отличный от 1, будем называть минимальным. Наибольший делитель числа, отличный от самого числа, будем называть максимальным. Найдите четырёхзначное число, у которого максимальный делитель в 91 раз больше минимального. Достаточно привести пример одного такого числа.

Answer 1

Четырёхзначное число будет равно произведению наименьшего делителя и наибольшего делителя по условию.

Пусть $x$ - наименьший делитель, не равный 1.

Тогда $91x$ - наибольший делитель числа, не равный самому числу.

Значит, искомое число равно $x\cdot 91x=91x^2$.

Все делители - натуральные числа. Нужно подобрать такое простое натуральное число для переменной $x$, квадрат которого при умножении на 91 даст четырёхзначное число.

$x\neq2,\ x\neq3$  -  так как в произведении  $91x^2$  дают только трёхзначное число.

$x=5;\ \ 91\cdot 5=455;\ \ 5\cdot 455=\boldsymbol{2275}\\\\x=7;\ \ 91\cdot 7=637;\ \ 7\cdot 637=\boldsymbol{4459}$

Наименьший делитель искомого четырёхзначного числа не может быть более 7, так как число 91 содержит делитель 7, и в разложении четырёхзначного числа на множители 7 будет обязательно присутствовать:

$91=7\cdot 13$

Ответ: существует всего два четырёхзначных числа 2275 и 4459, которые соответствуют условию задачи.