Question

sin(3x+pi/4)=1/2. Решить уравнение

Answer 1

Замена переменной:

$3x+\frac{\pi }{4} =t$

Уравнение:

$sint=\frac{1}{2}$  - простейшее

Решаем по формулам:  

$sinx=a,$       ⇒   $x=(-1)^{k}arcsina+\pi k, k \in Z$

$|a|\leq 1$

$sint=\frac{1}{2}$

$t=(-1)^{k}arcsin\frac{1}{2} +\pi k, k \in Z$

$t=(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

Обратный переход :

$3x+\frac{\pi }{4} =(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

$3x=-\frac{\pi }{4} +(-1)^{k}\frac{\pi }{3} +\pi k, k \in Z$

$x=-\frac{\pi }{12} +(-1)^{k}\frac{\pi }{9} +\frac{\pi}{3} k, k \in Z$  -  это ответ, который можно записать в виде серии из двух ответов

k=2n

$x=-\frac{\pi }{12} +\frac{\pi }{9} +\frac{2\pi}{3} n, n \in Z$

$x=\frac{\pi }{36} +\frac{2\pi}{3} n, n \in Z$

k=2n+1

$x=-\frac{\pi }{12} -\frac{\pi }{9} +\frac{2\pi}{3} n+\frac{\pi}{3}, n \in Z$

$x=\frac{5\pi }{36} +\frac{2\pi}{3} n, n \in Z$

О т в е т. $-\frac{\pi }{12} +(-1)^{k}\frac{\pi }{9} +\frac{\pi}{3} k, k \in Z$     или  $\frac{\pi }{36} +\frac{2\pi}{3} n; \frac{5\pi }{36} +\frac{2\pi}{3}m; n, m \in Z$