Question

При каком значении x значения выражений x+1, x+5 и 2x+4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии, первый член положителен.

Answer 1

$b_1=x+1;\ \ \ \ b_2=x+5;\ \ \ \ b_3=2x+4$

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое двух соседних членов.

$b_2^2=b_1\cdot b_3\\\\\big(x+5\big)^2=\big(x+1\big)\big(2x+4\big)\\\\x^2+10x+25=2x^2+6x+4\\\\x^2-4x-21=0$

По формулам Виета:

 $x_1\cdot x_2=-21;\ \ \ x_1+x_2=4;\\\\\Rightarrow\ \ \ \boldsymbol{x_1=7;\ \ x_2=-3}$

По условию первый член геометрической прогрессии должен быть положительным.

$x_1=7;\\ ~~~~~~~~b_1=7+1=8;\ \ \ b_1=8>0;\\~~~~~~~~ b_2=7+5=12;\\~~~~~~~~ b_3=2\cdot 7+4=18;\\\\~~~~~q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{12}8=\dfrac32=\dfrac{b_3}{b_2}=\dfrac{18}{12}=\dfrac32$

$x_2=-3;\ \ b_1=-3+1=-2<0$    - не подходит по условию.

Ответ: при значении переменной $x=7$  члены геометрической прогрессии  8; 12; 18.