Ответы
Ответ:
Объяснение:Представим исходное дифференциальное уравнение в виде:
y'+2y/x=y² *Sin(x)
Найти общее решение уравнения
y'+2*y/x=y² *sin(x)
Это уравнение Бернулли при n=2.
Разделив обе части уравнения на y² получаем:
y'/y²+2/(x·y)=sin(x)
Делаем замену: z=1/y
Тогда z' = -1/y2
и поэтому уравнение переписывается в виде
-z'+2·z/x=sin(x)
Решаем это уравнение методом вариации произвольной постоянной.
Представим в виде:
-z'+2·z/x = sin(x)
Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:
-z'+2*z/x= 0
1. Решая его, получаем:
z' = 2·z/x dz/dx=2z/x dz/z= 2dx/x
Интегрируя, получаем: ∫dz/z= 2∫dx/x
ln(z) = 2·ln(x)+lnC ln(z) = ln(x²)+lnC
z = Cx²
Ищем теперь решение исходного уравнения в виде:
z(x) = C(x)·x², z'(x) = C'(x)·x²+C(x)·(x²)'
-2·C(x)·x-C'(x) ·x²+2·z/x=sin(x)
-C'(x)·x² = sin(x)
или C'(x) = -sin(x)/x²
Интегрируя, получаем: C(x)=-∫Sin(x)/x² dx = (нтегрируем по частям) =С+ln(x)- ln(x²)/2+Sin(x)/x
Из условия z(x)=C(x)*x2, получаем:
z(x) = C(x)·x² = x²·(C+ln(x)-ln(x²)/2+0(x)+sin(x)/x)
или z = C·x²+x²·ln(x)-x²·ln(x²)/2 +x·sin(x)
Поскольку z=1/y, то получим:
1/y=C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x) Ответ: 1/у= C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x)