Пусть М-точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника АВСД, в котором стороны АВ,АД и ВС равны между собой. Найдите угол СМД(в градусах), если известно,что ДМ=МС, а угол САВ не равен углу ДВА.
Ответы
Ответ:
Ответ
120°
Объяснение:
Решение
Пусть ∠ABD = ∠ADB = α, ∠BAC = ∠ACB = β. По теореме о внешнем угле треугольника ∠BMC = α + β.
Через точку A проведём прямую, параллельную стороне CD. Пусть эта прямая пересекается с прямой DB в точке K. Треугольник AMK равнобедренный, так как он подобен равнобедренному треугольнику CMD. Значит, ∠DK = DM + MK = CM + MA = CA, то есть трапеция AKCD – равнобедренная. Поэтому CK = AD = BC, то есть треугольник BCK также равнобедренный (по условию точка K не совпадает с точкой B). Кроме того,
∠KCM = ∠ADM = α. Рассмотрим два случая.
1) Точка K лежит на диагонали DB. Тогда ∠KBC = ∠BKC = ∠KMC + ∠KCM = 2α + β. Отсюда
180° = ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = (α + β) + (2α + β) + β = 3α + 3β.
2) Точка лежит на продолжении DB за точку B. Тогда ∠BKC = ∠KBC = ∠BMC + ∠BCM = α + 2β. Отсюда
180° = ∠KMC + ∠MK + ∠KCM = (α + β) + (α + 2β) + α = 3α + 3β.
Итак, в любом случае α + β = 60°. Следовательно, ∠CMD = 180° – ∠KMC = 180° – (α + β) = 120°.