Question

Уважаемые Знатоки!
Помогите, пожалуйста, вычислить следующий предел:
$lim_{x to 1} ( frac{2x}{x+1} )^{ frac{1}{ln(2-x)} }$
Точно не II Замечательный предел.
Интересуют именно некоторые шаги упрощения и ответ. Спасибо!

Answer 1

Пусть предел равен А.
Прологарифмируем обе части, получим:
lnA = ln(lim(x->1) (2x/(x+1))^(1/ln(2-x));
Знаки ln и lim можно поменять местами:
lnA = lim(x->1) (ln((2x/(x+1)^(1/ln(2-x))));
lnA = lim(x->1) (ln(2x/(x+1))/ln(2-x)) = lim(x->1) ((ln2x - ln(x+1))/ln(2-x))
Получили неопределенность вида 0/0 при х->1. Применяем правило Лопиталя:
lim(x->1) ((ln2x - ln(x+1))/ln(2-x)) = lim(x->1) ((1/x - 1/(x+1))/(1/(x-2)).
Неопределенность раскрыта, подставляем х = 1:
lnA = ((1/1 - 1/2)/(1/(1-2)) = -0,5 => A = e^(-0,5) = 1/√e.

Answer 2

Помогите, пожалуйста, понять: Здесь lnA = lim(x->1) (ln((2x/(x+1)^(1/ln(2-x)))) скобки так должны быть или все выражение вместе со степенью под логарифмом? Или в результате все такие ln в степени 1/ln(2-x)

Answer 3

Все выражение под логарифмом)

Answer 4

Мы же обе части прологарифмировали)

Answer 5

Спасибо большое еще раз! Вы очень мне помогли! За идею с логарифмированием вообще особая благодарность!

Answer 6

Пожалуйста))