Question

Вычислить предел:
1.) lim(tg^3(x)-3tgx)/cos(x+pi/6) при x стремящемся к pi/3.

Answer 1

$lim_{xtofrac{pi}{3}}frac{tan^3 x-3tan x}{cos(x+frac{pi}{6})}=$

$=lim_{xtofrac{pi}{3}}frac{tan x(tan^2 x-3)}{cos(x+frac{pi}{6})}=lim_{xtofrac{pi}{3}}frac{tan x(tan x+sqrt{3})*(tan x-sqrt{3})}{cos(x+frac{pi}{6})}=$

по свойству пределов $lim_{xto c}(a*b)=lim_{xto c}a*lim_{xto c}b$

$=lim_{xtofrac{pi}{3}}tan x(tan x+sqrt{3})*lim_{xtofrac{pi}{3}}frac{(tan x-sqrt{3})}{cos(x+frac{pi}{6})}=$

$=tan frac{pi}{3}(tan frac{pi}{3}+sqrt{3})*lim_{xtofrac{pi}{3}}frac{(tan x-sqrt{3})}{cos(x+frac{pi}{6})}=$

$=sqrt{3}(sqrt{3}+sqrt{3})*lim_{xtofrac{pi}{3}}frac{(tan x-sqrt{3})}{cos(x+frac{pi}{6})}=$

$=sqrt{3}*2sqrt{3}*lim_{xtofrac{pi}{3}}frac{(tan x-sqrt{3})}{cos(x+frac{pi}{6})}=$

$=6*lim_{xtofrac{pi}{3}}frac{(tan x-sqrt{3})}{cos(x+frac{pi}{6})}=$

Замена $t=x-frac{pi}{3}$  при $xtofrac{pi}{3}$. Тогда $tto 0.$

$x=t+frac{pi}{3}$

$=6*lim_{tto 0}frac{tan (t+frac{pi}{3})-sqrt{3}}{cos(t+frac{pi}{3}+frac{pi}{6})}=$

$=6*lim_{tto 0}frac{tan (t+frac{pi}{3})-sqrt{3}}{cos(t+frac{pi}{2})}=$

Преобразуем знаменатель. Получим косинус суммы
cos (a+b)=cos a*cos b-sin a sin b
$cos(t+frac{pi}{2})=cos tcosfrac{pi}{2}-sin tsinfrac{pi}{2}=cos t*0-sin t*1=-sin t$

Перепишем предел в новом виде

$=6*lim_{tto 0}frac{tan (t+frac{pi}{3})-sqrt{3}}{-sin t}=6*lim_{tto 0}frac{tan (t+frac{pi}{3})-tanfrac{pi}{3}}{-sin t}=$
Воспользуемся формулой разности тангенсов, чтобы преобразовать числитель

$tan(a-b)=frac{sin(a-b)}{cos acos b}$

$=6*lim_{tto 0}frac{tan (t+frac{pi}{3})-tanfrac{pi}{3}}{-sin t}=$

$=6*lim_{tto 0}frac{tan (t+frac{pi}{3})-tanfrac{pi}{3}}{-sin t}=6*lim_{tto 0}frac{sin(t+frac{pi}{3}-frac{pi}{3})}{cos(t+frac{pi}{3})cosfrac{pi}{3}}*frac{1}{-sin t}=$

$=6*lim_{tto 0}frac{sin t}{cos(t+frac{pi}{3})cosfrac{pi}{3}}*frac{1}{-sin t}=$

$=6*lim_{tto 0}frac{sin t}{frac{1}{2}*frac{1}{2}}*frac{1}{-sin t}=6*4lim_{tto 0}frac{sin t}{-sin t}=-24.$