Question

Как доказать теорему о 9 точках на кубической кривой?

Answer 1

Короче вот:

Пошаговое объяснение:

Лемма 1

Если многочлен от двух переменных P ( x , y ) {\displaystyle P\,(x,\,y)} P\,(x,\,y) в бесконечном числе точек на прямой l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:\,ax+by+c=0} l:\,ax+by+c=0 принимает нулевое значение, то он делится на уравнение этой прямой, то есть P ( x , y ) ⋮ a x + b y + c {\displaystyle P\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c} P\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c.

Лемма 2

Если кубики P ( x , y ) {\displaystyle P\,(x,\,y)} P\,(x,\,y) и Q ( x , y ) {\displaystyle Q\,(x,\,y)} Q\,(x,\,y) пересекаются в трёх точках на прямой l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:\,ax+by+c=0} l:\,ax+by+c=0, то существует такое число t {\displaystyle t} t, что P ( x , y ) − t ⋅ Q ( x , y ) ⋮ a x + b y + c {\displaystyle P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c} P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c.