Question

Нужно доказать неравенство. 2 в степени n > 2 * n в квадрате -3n +1. Доказать надо с помощью метода математической индукции.

Answer 1

Проверяем для n=1: $2^1=2,2*1^2-3+1=0$ ⇒ $2>0$.
Предполагаем для любого n∈|N: $2^n>2n^2-3n+1$
Шаг индукции: $2^{n+1}=2*2^n>2(2n^2-3n+1)$ 
$2(n+1)^2-3(n+1)+1=2n^2+n$
Докажем что выполняется неравенство: $4n^2-6n+2 geq 2n^2+n$
$4n^2-6n+2-(2n^2+n)=2n^2-7n+2$
$2n^2-7n+2>0$ из исследования функции получаем что неравенство выполняется для любого n>3. 

Для n=1 мы уже проверили, значит осталось проверить частный случай n=2,3, а дальше - шаг индукции гарантирует правильность для любого n>3.