Question

Дано:
Окружность с центром О, треугольник АВС вписанный в эту окружность, касательная к окружности ВН
АВ=20, ВС=15,
ВН перпендикулярна АС
Найти АС
За спам минус баллы и бан, как обычно.

Answer 1

Ответ:   AC=7 .

Объяснение:

Обозначим   α=∠ВАС , он опирается на дугу ВС, значит равен половине  угловой величины дуги ВС.

 Угол между касательной ВН и хордой ВС равен половине  угловой величины дуги, заключенной между ними.,то есть  дуги ВС .

Значит,  ∠ВАС=∠СВН .

Отрезок ВН равен радиусу окружности:  r=BH .

Из  ΔАВН:   $sinBAH=\frac{BH}{AB}=\frac{r}{20}$  .  

Из  ΔВСН:   $sinCBH=\frac{CH}{BC}=\frac{CH}{15}$  .

 $\frac{r}{20}=\frac{CH}{15}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ r=\frac{4\cdot CH}{3}$  

Из  ΔАВН:   $AH^2=AB^2-BH^2\ \ ,\ \ \ AH^2=400-r^2$

Из  ΔВСН:   $CH^2=BC^2-BH^2\ \ ,\ \ \ CH^2=225-r^2$

 $CH^2=225-\Big(\dfrac{4\cdot CH}{3}\Big)^2=225-\dfrac{16\cdot CH^2}{9}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ CH^2\cdot (1+\dfrac{16}{9})=225\\\\CH^2\cdot \dfrac{25}{9}=225\ \ \ ,\ \ \ CH^2=\dfrac{225\cdot 9}{25}\ \ \ ,\ \ \ CH=\dfrac{15\cdot 3}{5}=9\\\\r=\dfrac{4\cdot 9}{3}=12\\\\AH^2=400-12^2=400-144=256\ \ \ ,\ \ \ AH=16\\\\AC=AH-CH=16-9=7$