Question

Решите задачу Коши для заданной автономной системы дифференциальных уравнений.

Answer 1

$\begin{cases} x'=2x+4y\\ y'=x+5y\end{cases}$

Продифференцируем первое уравнение:

$x''=2x'+4y'$

Подставим в него соотношение для y' из второго уравнения:

$x''=2x'+4(x+5y)$

$x''=2x'+4x+20y$

Из полученного уравнения отнимем первое уравнение системы, умноженное на 5:

$x''-5\cdot x'=2x'+4x+20y-5\cdot(2x+4y)$

$x''-5x'=2x'+4x+20y-10x-20y$

$x''-7x'+6x=0$

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-7\lambda+6=0$

$(\lambda-1)(\lambda-6)=0$

$\lambda_1=1;\ \lambda_2=6$

$\Rightarrow x=C_1e^t+C_2e^{6t}$

Найдем х':

$x'=C_1e^t+6C_2e^{6t}$

Выразим у из первого уравнения:

$y=\dfrac{x'-2x}{4}$

Находим у:

$y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2(C_1e^t+C_2e^{6t})}{4}$

$y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2C_1e^t-2C_2e^{6t}}{4}$

$\Rightarrow y=-\dfrac{1}{4}C_1e^t+C_2e^{6t}$

Условие для задачи Коши:

$\begin{cases} C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=2.3\end{cases}$

$\begin{cases} C_1+C_2=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1+C_2=2.3\end{cases}$

От первого уравнения отнимем второе:

$C_1+C_2-\left(-\dfrac{1}{4}C_1+C_2\right)=1.2-2,3$

$C_1+C_2+\dfrac{1}{4}C_1-C_2=-1.1$

$\dfrac{5}{4}C_1=-1.1$

$C_1=-0.88$

Выражаем из первого уравнения $C_2$:

$C_2=1.2-C_1$

$C_2=1.2-(-0.88)$

$C_2=2.08$

Частное решение:

$\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=-\dfrac{1}{4}\cdot(-0.88)e^t+2.08e^{6t} \end{cases}$

$\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=0.22e^t+2.08e^{6t} \end{cases}$