Question

Найдите сумму корней уравнения:
sin^2x-4sinx = 5 на промежутке [ -Пи ; 2Пи ]

Answer 1

$sin^2x-4sinx=5\ \ ,\ \ \ x\in [-\pi ;\, 2\pi \; ]\\\\sin^2x-4sinx-5=0\ \ \ \to \ \ \ sinx=-1\ ,\ sinx=5\ \ (teorema\; Vieta)\\\\sinx=-1\ \ ,\ \ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\sinx=5\ \ \to \ \ \ x\in \varnothing\ ,\ \ t.k.\ \ |sinx|\leq 1\\\\x\in [-\pi \, ;2\pi \; ]:\ \ \ x_1=-\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ x_2=\frac{3\pi}{2}\\\\Otvet:\ \ x_1+x_2=-\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi }{2}=\pi \ .$

Answer 2

sinx=y;   IyI≤1,  получим уравнение у²-4у-5=0, по Виету

сумма корней равна 4.т.е.

(у)₁+(у)₂=4

у₁*у₂=-5

у₁=-1, у₂=5∅

sinx=-1x=-π/2+2πn; n∈Z

на отрезке [-π;2π]

Если n=0; х=-π/2  ∈[-π;2π]

n=-1;  x=-2.5π ∉[-π;2π]

n=1;  x=1.5π ∈[-π;2π]

n=2;  x=3.5π ∉[-π;2π]

Сумма 1.5π-0.5π=π