Question

Решите уравнение
$4sinx + cosx = 4$

Answer 1

$4\sin x + \cos x = 4$

Универсальная тригонометрическая подстановка:

$\sin x=\dfrac{2\mathrm{tg}\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }$

$\cos x = \dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }$

Получаем уравнение:

$\dfrac{4\cdot2\mathrm{tg}\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} } +\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} } = \dfrac{4(1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} )}{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }$

$8\mathrm{tg}\frac{x}{2}+1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} =4+4\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}$

$5\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} -8\mathrm{tg}\frac{x}{2}+3=0$

Сумма коэффициентов уравнения равна 1, значит его корни 1 и 3/5.

$\left[\begin{array}{l} \mathrm{tg}\dfrac{x}{2}=1 \\ \mathrm{tg}\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{5} \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+\pi n \\ \dfrac{x}{2}=\mathrm{arctg}\dfrac{3}{5} +\pi n\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n \\ x=2\mathrm{arctg}\dfrac{3}{5} +2\pi n\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\ x=2\mathrm{arctg}\dfrac{3}{5} +2\pi n\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$