Question

Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной следующими линиями:

1) y=√x, y=2-x, y=0

2)y=x^2-2x+3, y=3x-1.

Answer 1

Ответ:

1. Найдём точки перечесения кривых

Пусть t=$\sqrt{x}$, тогда 2-t²=t

t²+t-2=0

(t-1)(t+2)=0

t=1, t=-2 но нас устраивает только t=1, т.е. х=1

и искомый интервал [0,1]

Вычислим I₁=$\int\limits^1_0 {2-x} \, dx$ =(2x-x²/2)|₀¹=1,5

Вычислим I₂=$\int\limits^1_0 {\sqrt{x} } \, dx$=2/3x√x|₀¹=2/3

Искомая площадь S=I₁-I₂=3/2-2/3=5/6

2. Ищем точки пересечения

x²-2x+3=3x-1

x²-5x+4=0

(x-2,5)²-2,25=0

(x-4)(x-1)=0

x=1, x=4

В этих пределах и ищем интегралы

I₁=$\int\limits^4_1 ({x^{2}-2x+3) } \, dx$=x³/3-x²+3x |₁⁴=64/3-16+12-(1/3-1+3)=21-15+9=15

I₂= $\int\limits^4_1 {(3x-1)} \, dx$=3/2x²-x |⁴₁=48-44-(3/2-1)=4-1/2=3,5

Площадь S=I₂-I₁=12,5

Пошаговое объяснение: