Question

Прошу решить все задания.

Answer 1

$y''+4y'+3y=75e^{2x}$

Преобразования Лапласа:

$y(x)\rightarrow Y(p)$

$y'(x)\rightarrow pY(p)-y(0)=pY(p)-10$

$y''(x)\rightarrow p^2Y(p)-py(0)-y'(0)=p^2Y(p)-10p-1$

$e^{2x}\rightarrow\dfrac{1}{p-2}$

После преобразования получим:

$p^2Y(p)-10p-1+4(pY(p)-10)+3Y(p)=75\cdot\dfrac{1}{p-2}$

Далее, для краткости $Y(p)=Y$

$p^2Y-10p-1+4(pY-10)+3Y=\dfrac{75}{p-2}$

$p^2Y-10p-1+4pY-40+3Y=\dfrac{75}{p-2}$

$(p^2+4p+3)Y=\dfrac{75}{p-2}+10p+41$

$(p^2+4p+3)Y=\dfrac{75+(10p+41)(p-2)}{p-2}$

$Y=\dfrac{75+10p^2-20p+41p-82}{(p-2)(p^2+4p+3)}$

$Y=\dfrac{10p^2+21p-7}{(p-2)(p+1)(p+3)}$

Разложим дробь на составляющие:

$\dfrac{10p^2+21p-7}{(p-2)(p+1)(p+3)}=\dfrac{A}{p-2}+\dfrac{B}{p+1}+\dfrac{C}{p+3}=$

$=\dfrac{A(p+1)(p+3)+B(p-2)(p+3)+C(p-2)(p+1)}{(p-2)(p+1)(p+3)}=$

$=\dfrac{A(p^2+4p+3)+B(p^2+p-6)+C(p^2-p-2)}{(p-2)(p+1)(p+3)}=$

$=\dfrac{(A+B+C)p^2+(4A+B-C)p+3A-6B-2C}{(p-2)(p+1)(p+3)}$

Условие равенства дробей:

$\begin{cases} A+B+C=10\\ 4A+B-C=21\\3A-6B-2C=-7 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим С:

$C=10-A-B$

Подставим в оставшиеся уравнения:

$\begin{cases} 4A+B-(10-A-B)=21\\3A-6B-2(10-A-B)=-7 \end{cases}$

$\begin{cases} 4A+B-10+A+B=21\\3A-6B-20+2A+2B=-7 \end{cases}$

$\begin{cases} 5A+2B=31\\5A-4B=13 \end{cases}$

$\begin{cases} 10A+4B=62\\5A-4B=13 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$15A=75$

$A=5$

Находим В:

$5\cdot5+2B=31$

$2B=6$

$B=3$

Находим С:

$C=10-5-3=2$

Разложение Y на составляющие:

$Y(p)=\dfrac{5}{p-2}+\dfrac{3}{p+1}+\dfrac{2}{p+3}$

Обратное преобразование Лапласа:

$Y(p)\rightarrow y(x)$

$\dfrac{1}{p-2}\rightarrow e^{2x}$

$\dfrac{1}{p+1}\rightarrow e^{-x}$

$\dfrac{1}{p+3}\rightarrow e^{-3x}$

Искомое решение:

$y(x)=5e^{2x}+3e^{-x}+2e^{-3x}$