Даны точки А (0, -1, 2) , В (1, -2, 3), С (3, 2, -2) , D (1, 6, 8).
Докажите, что прямая DA перпендикулярна плоскости АВС
Ответы
Даны точки А (0, -1, 2) , В (1, -2, 3), С (3, 2, -2) , D (1, 6, 8).
Для составления уравнения плоскости АВС используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 0 y - (-1) z - 2
1 - 0 (-2) - (-1) 3 - 2
3 - 0 2 - (-1) (-2) - 2
= 0
x - 0 y - (-1) z - 2
1 -1 1
3 3 -4
= 0
(x - 0) (-1·(-4)-1·3) - (y - (-1)) (1·(-4)-1·3) + (z - 2) (1·3-(-1)·3) = 0
1 x - 0 + 7 y - (-1) + 6 z - 2 = 0
x + 7y + 6z - 5 = 0.
Нормальный (то есть перпендикулярный) вектор это плоскости равен:
n = (1; 7; 6).
Находим направляющий вектор прямой ДА.
ДА = (0-1=-1; -1-6=-7; 2-8=-6) = (-1; -7; -6).
Как видим, вектор ДА совпадает с нормальным вектором плоскости, только имеет обратное направление.
Но прямая ДА всё равно перпендикулярна плоскости, проходящей через точки А, В и С.