Question

3.1 Любой.

Благодарю.​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \sum \limits _{n=2}^{\infty }\; \dfrac{1}{n\; lnn}\\\\\\\int\limits^{+\infty }_2\, \dfrac{dx}{x\; lnx}=\lim\limits_{A\to +\infty}\int\limits^{A}_2\; \dfrac{dx}{x\; lnx}=\lim\limits_{A\to +\infty}\; ln\, |lnx|\, \Big|_2^{A}=\\\\\\=\lim\limits_{A\to \infty}\; \Big(\underbrace {ln\, |lnA|}_{\to +\infty }-\underbrace {ln(ln2)}_{const}\Big)=+\infty$

расходится

$2)\ \ \sum \limits _{n=2}^{\infty }\; \dfrac{1}{n\; ln^2n}\\\\\\\int\limits^{+\infty }_2\, \dfrac{dx}{x\; lnx}=\lim\limits_{A\to +\infty}\int\limits^{A}_2\; \dfrac{dx}{x\; ln^2x}=\lim\limits_{A\to +\infty}\; \Big(-\dfrac{1}{lnx}\; \Big)\, \Big|_2^{A}=\\\\\\=\lim\limits_{A\to \infty}\; \Big(\underbrace {-\dfrac{1}{lnA}}_{\to 0}+\underbrace {\dfrac{1}{ln2}}_{const}\Big)=\dfrac{1}{ln2}=const$

сходится

$3)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\; \dfrac{lnn}{n^2}\\\\\\\int\limits^{+\infty }_1\, \dfrac{lnx\, dx}{x^2}=\lim\limits_{A\to +\infty}\int\limits^{A}_1\; \dfrac{lnx\, dx}{x^2}=\lim\limits_{A\to +\infty}\; \Big(-\dfrac{lnx}{x}-\dfrac{1}{x}\Big)\Big|_1^{A}=\\\\\\=\lim\limits_{A\to +\infty}\; \Big(\underbrace {-\dfrac{lnA}{A}}_{\to 0}-\underbrace {\dfrac{1}{A}}_{\to 0}+1\Big)=1=const$

сходится