Question

Любые (5). Что означает сходятся/расходятся? и как их отличать??

Благодарю. ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$4)\Sigma^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{(n*(n+1))} )= \lim_{n \to \infty}({\frac{1}{(n*(n+1))} )= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}* \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}=\frac{1}{\infty}*\frac{1}{\infty}=0*0=0.$Ответ:  ряд сходится.

$6)\Sigma^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{n} *tg(\frac{\pi }{3n}))= \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}* \lim_{n \to \infty}tg(\frac{\pi }{3n})=\frac{1}{\infty}* \lim_{n \to \infty} \frac{sin\frac{\pi }{3n} }{cos\frac{\pi }{3n} }=\\=0* \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\pi }{3n} }{cos\frac{\pi }{3n} } *\frac{sin\frac{\pi }{3n} }{\frac{\pi }{3n} } =\frac{\frac{\pi }{\infty} }{cos\frac{\pi }{\infty} }* \lim_{n \to \infty}\frac{sin\frac{\pi }{3n} }{\frac{\pi }{3n} } = 0*\frac{0}{cos0} *1=0*\frac{0}{1} *1=0.$

Ответ:  ряд сходится.

$9)\Sigma^{\infty}_{n=1}\frac{ln(n)}{n^3} = \lim_{n \to \infty}\frac{ln(n)}{n^3} =\frac{ \lim_{n \to \infty} ln(n) }{ \lim_{n \to \infty}n^3 } .$

Так как кубическая функция х³ имеет более высший порядок роста,  чем логарифмическая функция ln(n)  ⇒

$\Sigma^{\infty}_{n=1}\frac{ln(n)}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{ln(n)}{n^3} =0.$

Ответ:  ряд сходится.

Answer 2

$4)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n(n+1)}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2+n}\\\\\\Neobxodimuj\ priznak:\ \lim\limits _{n \to \infty} a_n=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{1}{n^2+n}=0\ \ \Rightarrow \ \ ???$

Если предел общего члена ряда равен 0, то ответ о сходимости ряда дать невозможно. Поэтому ряд надо исследовать с помощью других признаков. (Вот если бы предел общего члена ряда не был = 0, то вывод можно было бы сделать однозначно, ряд бы расходился.)

Применим признак сравнения:  

$a_{n}=\dfrac{1}{n^2+n}<\dfrac{1}{n^2}\ \ ,\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2}\ -\ sxoditsya\ \ \Rightarrow \\\\\\\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n(n+1)}\ -\ sxoditsya$

По признаку сравнения: мажорантный ряд сходится, значит сходится и минорантный ряд   ⇒   исходный ряд сходится  .

$6)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n}\cdot tg\dfrac{\pi}{3n}\\\\Neobx.\; priznak:\ \lim\limits _{n \to \infty} a_n= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{1}{n}\cdot tg\frac{\pi}{3n}=\Big[0\cdot 0\; \Big]=0\ \ \Rightarrow \ \ \ ???\\\\sinx<x<tgx\ ,\ esli\ \ x\in (0^\circ ;90^\circ )$

$tg\dfrac{\pi}{3n}>\dfrac{\pi}{3n}\ \ (n\to +\infty )\ \ \Rightarrow \ \ \ a_{n}=\dfrac{1}{n}\cdot tg\dfrac{\pi}{3n}>\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{\pi}{3n}=\dfrac{\pi}{3n^2}=b_{n}\ -\ sxoditsya\; ,\\\\tak\ kak\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2}\ -\ sxoditsya$

Получили, что сходится минорантный ряд, а из этого факта не следует сходимость мажорантного ряда. Поэтому применим признак сравнения в предельной форме.

$\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_{n}}{b_n}=\lim\limits _{n\to \infty }\dfrac{\frac{1}{n}\cdot tg\frac{\pi}{3n}}{\frac{1}{n^2}}=\lim\limits _{n\to \infty }\dfrac{\frac{1}{n}\cdot \frac{\pi}{3n}}{\frac{1}{n^2}}=\dfrac{\pi }{3}\ne 0\ \ \Rightarrow$

Оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся .

$8)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }3^{n}\cdot sin\dfrac{\pi}{4^{n}}\\\\sin\dfrac{\pi}{4^{n}}<\dfrac{\pi}{4^{n}}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ a_{n}=3^{n}\cdot sin\dfrac{\pi}{4^{n}}<3^{n}\cdot \dfrac{\pi}{4^{n}}=\pi \cdot \Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{n}=b_{n}\ -\ sxod.\ \ ,\\\\tak\ kak\ \ \dfrac{3}{4}<1\ \ \Rightarrow \ \ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{n} -\ sxoditsya$

$\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_{n}}= \lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{3^{n}\cdot sin\frac{\pi}{4^{n}}}{(3/4)^{n}}= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{3^{n}\cdot (\pi/4^{n})}{(3/4)^{n}}=\pi \ne 0\ \ \Rightarrow$

Оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся .

$7)\ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, ln\dfrac{n+3}{n+2}\\\\ln\dfrac{n+3}{n+2}=ln\Big(1+\dfrac{1}{n+2}\Big)\sim \dfrac{1}{n+2}\ \ \ (n\to \infty )\ \Rightarrow \\\\\sum\limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n}=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n+2}\ -\ rasxoditsya\\\\\\\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{ln(1+\frac{1}{n+2})}{\frac{1}{n+2}}= \lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+2}}=1\ne 0\ \ \Rightarrow$

Оба ряда расходятся .

$11)\ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{2^{n}}{4^{n}+7}\\\\a_{n}=\dfrac{2^{n}}{2^{2n}+7}<\dfrac{2^{n}}{2^{2n}}<\dfrac{1}{2^{n}}=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{n}\ \ ,\ \ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n}=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{n}\ -\ sxoditsya\\\\\\a_{n}<b_{n}$

Оба ряда сходятся .