Question

Число 20 представили как сумму двух положительных чисел причем сделали это так чтобы после умножения 1 и 2 слагаемых итоговый результат был наибольшим. Найти произведение этих слагаемых.
Решение должно быть через производную. (Составление уравнения, критических точек)

Answer 1

1 способ.

у(х)=х(20-х)

х - первое число, (20-х) - второе; у - их произведение.

у(х)=-х²+20х

у'(х)=-2х+20

-2х+20=0

х=10

х - критическая точка; 1-е число

(20-х)=10 - второе число.

--------------------------------------------------

х   I   (0; 10)  I    10    I   (10; 20)

-----------------------------------------------------

y'  I    +         I     0     I     -

-----------------------------------------------------

y   I возр.    I max     I   убывает

у(макс)=у(10)=10(20-10)=100  -  это ответ.

-----------------------------------------------------------------------

2-ой способ (парабола)

Максимум ф-ции у(х)=х(20-х)=-х²+20х  можно найти проще.

Это парабола ветвями вниз. У(при вершине)=у(макс.)

х(верш.)=-в/2а=-20/(2*(-1))=10

у(10)=10(20-10)=100

--------------------------------------------------------------

Третий способ. Совсем просто.

Площадь прямоугольника S=а*в

Максимальная площадь у квадрата при а=в

Значит стороны 10 и 10. Сумма сторон=20; площадь=100.