Question

Решите с объяснением, пожалуйста.

Answer 1

11. $2^{x+2} + 2^{x} >20$

$2^{x} * ( 2^{2} + 1 ) > 20$

$2^{x} * 5 > 20$ | : 5

$2^{x} > 4$

$2^{x} > 2^{2}$

x > 2

Ответ: 3 (x∈(2 ; +∞))

12. lg² x - 3 lg x - 10 = 0

Пусть lg x = t, тогда

t² - 3t - 10 = 0

D = (-3)² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49 = 7²

$t_{1} = \frac{3+7}{2*1} = \frac{10}{2} = 5$

$t_{2} = \frac{3-7}{2*1} = - \frac{4}{2} = -2$

5 * (-2) = -10

Ответ: 2 ( -10)

13. 2 cos² x - 3 sin x = 0

cos² x = 1 - sin² x  по основному тригонометрическому тождеству

2 * (1 - sin² x) - 3 sin x = 0

2 - 2 sin² x - 3 sin x = 0

- 2 sin² x - 3 sin x + 2 = 0 | : (-1)

2 sin² x + 3 sin x - 2 = 0

Пусть sin x = t, тогда

2 t²  + 3t - 2 = 0

D = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25 = 5²

$t_{1} = \frac{-3+5}{2*2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_{2} = \frac{-3-5}{2*2} = - \frac{8}{4} = - 2$ - посторонний корень, т.к. в уравнении sin x = a, |a|≤1

Вернёмся к замене:

$sin x = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^{m} * arcsin \frac{1}{2} + \pi m$, m∈Z

$x = (-1)^{m} * \frac{\pi }{6} + \pi m$, m∈Z

Ответ: 4 ( $x = (-1)^{m} * \frac{\pi }{6} + \pi m$, m∈Z )