Question

Помогите решить хотя бы 3 задания

Answer 1

1

Немного преобразуем функцию:

$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{x+1}{x} \right)^{\frac{x}3} = \lim\limits_{x \to 0} \exp(\frac{x}{3}\ln\left(\frac{x+1}{x} \right))$.

Ввиду монотонности экспоненты допустим такой переход:

$\lim\limits_{x \to 0} \exp(\frac{x}{3}\ln\left(\frac{x+1}{x} \right)) = \exp\left(\frac13 \lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x}}\right)$.

Такой предел является следствием из второго замечательного предела и равен 1. Следовательно:

$\exp\left(\frac13 \lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x}}\right) = \exp\left(\frac13 \cdot 1 \right) = e^{\frac13}$.

2

$\int (2x - 1) \cos 3x \, dx = \int 2x \cos 3x \, dx - \int \cos 3x \, dx = -\frac13 \sin 3x + \int 2x \cos 3x \, dx$.

Найдём оставшийся интеграл отдельно:

$\int 2x \cos 3x \, dx = \frac13 \int 2x \, d\sin(3x) = \frac13 2x\sin(3x) - \frac23 \int \sin(3x) \, dx =\\\\= \frac13 2x\sin(3x) + \frac29 \cos(3x) + C$

Итого, ответ: $\frac13 2x\sin(3x) + \frac29 \cos(3x) - \frac13 \sin(3x) + C$.

3

$y' - \frac{y}{x} = \frac{1}{x^2}\\dy - \frac{y}{x}dx = \frac{dx}{x^2}\\\frac{dy}{x} - \frac{y}{x^2} dx = \frac{dx}{x^3}$

Заметим, что $\frac{dy}{x} + (-\frac{y}{x^2}) dx = d(\frac{y}{x})$

$d(\frac{y}{x}) = \frac{dx}{x^3}\\\int d(\frac{y}{x}) = \int \frac{dx}{x^3}\\\frac{y}{x} = -\frac12 \frac{1}{x^2} + c_1\\y= -\frac12 \frac1x + c_1x$

4

$\begin{cases} x = \sqrt{\sin^3(2t-1)} \\ y = t\sin(t + 3)\end{cases}$

Производная:

$\displaystyle y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{\sin(t + 3) + t\cos(t + 3)}{\frac{6\sin^2(2t - 1)\cos(2t+1)}{2\sqrt{\sin^3(2t - 1)}}}$

5

Объём пирамиды равен шестой части смешанного произведения векторов:

$V = \frac16 \begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1\end{vmatrix} = \frac16 \left( \begin{vmatrix}-2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1\end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix}1 & -2 \\ 2 & 1\end{vmatrix}\right) = \frac{23}{6}$