Question

Найти площадь, ограниченную параболой y = 4x – x2 и прямой у = х+2. С рисунком пожалуйста!!!

Answer 1

Решение:

Приравняем данные функции и решим полученное квадратное уравнение:

$4x-x^2=x+2 \\ \\ 4x-x^2-x-2=0 \\ \\ -x^2+3x-2=0 \: |\cdot(-1) \\ \\ x^2-3x+2=0 \\ \\ x^2-x-2x+2=0 \\ \\ x\cdot\Big(x-1\Big)-2\cdot\Big(x-1\Big)=0 \\ \\ \Big(x-1\Big)\cdot\Big(x-2\Big)=0 \\ \\ \left[\begin{array}xx-1=0 \\ x-2=0 \end{array}\right \Rightarrow \left[\begin{array}xx=1 \\ x=2 \end{array}\right$

По формуле Ньютона-Лейбница найдём площадь:

$S=\int\limits^2_{1} (3x-x^2-2)\, dx = \Big(\dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-2x\Big)|^2_1 = \\ \\ 6-\dfrac{8}{3}-4-\Big(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}-2\Big)=2-\dfrac{11}{6}=\dfrac{1}{6}$

Ответ: $S=\dfrac{1}{6}$